その１で固有値問題を、その２で一般固有値問題を、その３で多自由度の振動の運動方程式が一般固有値問題であることを説明しました。
では、もう少し、振動の運動方程式が一般固有値問題であることの、物理的な意味を考えてみます。
数学的な特徴と物理的な意味を考える
上の式より、振動の運動方程式は一般固有値問題であることが分かりました。つまり上の式を満たすベクトル{X}は、固有ベクトルであり、N自由度であれば、N個存在し、それぞれのベクトルは直行することになります。また、固有ベクトルは絶対値としてではなく、ベクトル{X}の要素の比としてしか表すことができません。
（ベクトル{X}は、各質量の振動の最大振幅を表します。）
そして、この比は、その１ではλの二次方程式の解で決まったように、ΩのN次代数方程式としで決まることになります。Ωは、角振動数ですから、N個の角振動数によって、最大振幅の比が決まります。
つまり、N個の固有ベクトル{X}を求めることは、N種類の振動の状態を求めていること、と言って良いと思います。本書から抜粋すると、
"振幅は、絶対値が不定のままで特定の振動の形（モード）をとり、しかもその形は・・・・系固有の質量とばねこわさのみで決まる値であるから、これらを固有モード(natural mode)という。・・・・これらが、外作用を受けない自由な状態で持続する自然な(natural)な振動数であり形だかたである。"
（振動の絶対値が不定なのは外力が確定していないからです。）
つまり、振動を固有値問題を解くことによって把握できるということです。
更に、嬉しいのは、固有ベクトルの直交性です。ここでは結論だけ書きます。
固有ベクトルの直交性のために、各振動モードは、力学的にも独立し、エネルギー的にも無関係に考えることができます。得に、強制振動において、ある固有モードにおける加振力は、その固有モードの振動を生じさせるだけで、他の固有モードは決して励起することはありません。
（ちょっと、飛ばしますが、）つまりは、多自由度の振動問題をもっとシンプルに一自由度の振動として考えられること、また、ある振動モードの振る舞いも独立して考えることができるといえます。
得に、工学的に重要な低次の振動モードを考えていけば良く、複雑な他自由度の振動問題をシンプルに扱うことができる恩恵は大きいといえます。
では、次回は実際に解析も踏まえて何か振動問題を考えてみたいと思います。
